微积分 经管类 上册 教学课件 作者 顾聪 姜永艳 1.8 函数的连续与间断.pptVIP

目录 上页 下页 返回 结束 二、 函数的间断点 一、 函数的连续性 第 8 节 函数的连续与间断 第 1 章 三、连续函数的运算 四、闭区间上连续函数的性质 可见 , 函数 在点 一、 函数的连续性 定义1 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; continue 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例如, 在 上连续 . 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 对自变量的增量 有函数的增量 左连续 右连续 当 时, 有 函数 在点 连续有下列等价命题: 例1. 证明函数 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡, 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 三、连续函数的运算 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减) (证明略) 在[?1, 1]上也连续单调 (递减) 递增. 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 于是 故复合函数 又如, 且 即 单调 递增, 例如, 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 例2 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 例3. 求 解: 原式 例4. 求 解: 令 则 原式 说明: 由此可见当 时, 有 例5. 求 解: 原式 说明: 若 则有 例6. 设 解: 讨论复合函数 的连续性 . 故此时连续; 而 故 x = 1为第一类间断点 . 在点 x = 1 不连续 , 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 四、闭区间上连续函数的性质 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 在闭区间上的连续函数 使 至少有 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 . 例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 则 则 内容小结 内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算结果仍连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 使 必