微积分 经管类 上册 教学课件 作者 顾聪 姜永艳 1.5 极限运算法则.pptVIP

目录 上页 下页 返回 结束 第 1 章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第 5 节 极限运算法则 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 二、 极限的四则运算法则 则有 证: 因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 推论: 若 且 则 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 定理 4 . 若 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 证: 为无穷小 (详见书P44) 定理 5 . 若 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 无穷小 有界 由极限与无穷小关系定理 , 得 因此 ? 为无穷小, 定理6 . 若 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . x = 3 时分母为 0 ! 例3. 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例4. 若 例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 例6 . 求 解: 分子分母同除以 则 “ 抓大头” 原式 一般有如下结果： 为非负常数 ) ( 如 P47 例5 ) ( 如 P47 例6 ) ( 如 P47 例7 ) 三、 复合函数的极限运算法则 定理7. 设 且 x 满足 时, 又 则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 定理7. 设 且 x 满足 时, 又 则有 说明: 若定理中 则类似可得 例7. 求 解: 令 , 仿照例4 ∴ 原式 = 例4 例8 . 求 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 内容小结 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7 思考及练习 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 解: 原式 2. 问 3. 求 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 4. 试确定常数 a 使 解 : 令 则 故 因此 * 目录 上页 下页 返回 结束 *