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* * 空间中两直线的位置关系 判断下列命题对错: 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这条直线上的所有点都在这个平面内。( ) 2、将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。 ( ) 3、四个点中如果有三个点在同一条直线上,那么这四个点必在同一个平面内。 ( ) 4、一条直线和一个点可以确定一个平面。( ) 5、如果一条直线和另两条直线都相交,那么这三条直线可以确定一个平面。 ( ) 平面有关知识(复习 ) ? ? ? ? ? 判断下列直线的位置关系: 1、竖直的两条电线杆所在的直线 思考:在平面内,两条不重合的直线之间有几种位置关系? 2、十字路口的两条路所在的直线 3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧 所在的直线 空间的两直线呢? l m P m l 图1 图2 l l l l 一、空间中两直线的位置关系 从图中可见,直线 l 与 m 既不相交,也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。(既不相交也不平行的两条直线) 不同在任何一个平面内 1、异面直线 判断: 直线m和l是异面直线吗? α β l m m l (1) (2) ,则 与 是异面直线 (3)a,b不同在平面 内,则a与b异面 异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点 1、相交 2、平行 m l 只有一个公共点 没有公共点 在同一平面 2、空间中两直线的三种位置关系 3、异面直线 m P l 没有公共点 不同在任一平面 m l P 探究: H G C A D B E F G H E F(B) (C) D A AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对? 二、空间直线的平行关系 若a∥b,b∥c, 1、平行关系的传递性 c a a b c c 公理4 平行于同一直线的两直线互相平行 a α 则a∥c 例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线 AB与C1D1 ,AD1与 BC1 是什么位置关系?为什么? C1 A B C D A1 B1 D1 练习:在上例中,AA1与CC1,AC与A1C1 的位置是什么关系? 例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证EFGH是一个平行四边形。 解题思想: ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理,FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 证明: 连结BD 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题 ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。 A B D E F G H C 2、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 C1 A B C D A1 B1 D1 两直线的夹角: 两直线相交所成的4个角中,其中不大于 的角叫做两直线的夹角 三、两条异面直线所成的角 如图所示,a,b是两条异面直线, 在空间中任选一点O, 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, a b P a′ b′ O 则这两条线所成 的锐角θ(或直角), θ 称为异面直线a,b所成的角。 ? 任选 O a′ 若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围: 平移 例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角: 练习:1、求直线AD1与B1C所成的夹角; 2、与直线BB1垂直的棱有多少条? 1)AB与CC1; 2)A1 B1与AC; 3)A1B与D1B1。 B1 C C1 A B D A1 D1 1)AB与CC1所成的角 = 9 0° 2)A1 B1与AC所成的角 = 4 5° 3)A1B与D1B1所成的角 = 6 0° 2)与棱BB1垂直的棱有: A B C D A1 B1 C1 D1 AD、 A1D1、 DC、 D1C1、 A1B1、 AB、 B1C1、 BC、 相交: 异面: 垂直 相交垂直 异面垂直 B1 C C1 A B D A1 D1 1)直线AD1与B1C所成的夹角 9 0° 填空: 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 ________三种。 2、没有公共点的两条
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