博弈论及其在社会经济中的应用.ppt

纯策略矩阵博弈 定义 设G={S1，S2；A}为矩阵博弈，其中S1={α1，α2，…，αm}，S2={β1，β2，…，βn}， 若等式 成立， ，则称VG为博弈G的值，对应的策略组合 称为该博弈的纳什均衡。 例 求解矩阵博弈，其中 则有 博弈G的解为： （α2，β2），博弈值 VG =3 定理 矩阵博弈G={S1，S2；A}在纯策略定义下有纳什均衡的充要条件是：存在策略组合 使得对一切i =1，…，m, j =1，…，n，均有 定义 设 f(x，y)为一个定义在x∈A及y∈B上的实函数，如果存在x*∈A及y*∈B,使得对一切x∈A及y∈B有 则称 为函数 f 的有关鞍点。 矩阵博弈在纯策略意义下有解且VG= ai*j*的充要条件是：ai*j*是A的鞍点。在博弈论中，矩阵A的鞍点也称为博弈的鞍点。 例 设有矩阵博弈G={ S1，S2；A }，赢得矩阵为 求纳什均衡？ 解： 直接在赢得表上计算有 根据 可知 =5，i*=1,3，j*=2,4．故（α1，β2）（α1，β4）（α3，β2）（α3，β4）为博弈的纳什均衡，VG=5 。 混合策略矩阵博弈 纯策略矩阵博弈满足纳什均衡，是满足局中人Ⅰ有把握的至少得益是局中人Ⅱ有把握的至多损失即： 当V1≠V2 时，这时不存在纯策略意义下的纳什均衡 。 例 对局中人1有，v1= -2，i*=3，对局中人2有，v2=3，j*=1，v1≠v2。没有鞍点。 定义设矩阵博弈 ，其中 记 则 分别称为局中人Ⅰ、Ⅱ的混合策略集； 、 分别称为局中人1、2的混合策略， 为一个混合局势，局中人Ⅰ的赢得函数 为 得到新的博弈 ，称为G 的混合扩充。E是赢得期望值。 纯策略是混合策略的特例。 混合策略x 可设想成当两个局中人多次重复进行博弈G时，局中人Ⅰ分别采取纯策略的频率。 若只进行一次博弈，混合策略x 可设想成局中人Ⅰ对纯策略的偏好程度。 定理 矩阵博弈 G={S1，S2；A}在混合策略意义下有解的充要条件是：存在x*∈S1*，y*∈S2*，使（x*，y*）为函数E（x，y）的一个鞍点，即对一切 x∈S1*，y∈S2*有 E（x，y*）≤ E（x*，y*）≤E（x*，y） 例 矩阵博弈G={ S1，S2；A }，其中 求纳什均衡 ? 解： 纯策略纳什均衡不存在．设x =（x1，x2）为局中人Ⅰ的混合策略，y = (y1，y2)为局中人Ⅱ的混合策略，则： 局中人1的赢得期望值是 取 ， 满足 则 分别为局中人Ⅰ和 Ⅱ的最优策略，即博弈的纳什均衡 例 齐王与田忌赛马 Ⅱ Ⅰ α1 α2 α3 α4 α5 α6 β1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 β1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 β1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 β1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 β1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 3，-3 1，-1 β1 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 3，-3 利用最大最小和最小最大原则，发现不存在使得 成立的点。 齐王所得就是田忌所失，博弈双方利益是完全对立的，属零和博弈，不可能有纯策略，属混合策略。 齐王有六种可选择的策略，分别对应六种概率。田忌也六种可选择的策略及其概率。其中，田忌采用α1策略的期望得益为 其余五种策略的期望得益，可根据赢得表以此类推。 齐王与田忌都以1/6的相同概率随机选择各自六个可选策略构成一个混合策略纳什均衡。 齐王的期望得益为 （3+1+1+1+1-1）1/6 = 1 田忌的期望得益为 （-3-1-1-1-1+1）1/6 = -1 多次进行这样的赛马