微波仿真论坛_附录 COMSOL Multiphysics的MATLAB矢量计算基础.docVIP

附录 COMSOL Multiphysics的MATLAB矢量计算基础 W. B. J. ZIMMERMAN1，J. M. REES2 1Department of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield, Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United Kingdom 2Department of Applied Mathematics, University of Sheffield, Hicks Building, Sheffield 矢量计算支撑了偏微分方程和它们的数值近似求解。为了很好的使用有限元方法，建模人员应该掌握矢量计算基础知识。本科毕业的工程师可能学过矢量计算的数学课程，但是由于没有碰到过矢量计算的实际应用，这时在工程建模中使用矢量计算就受到限制。本附录介绍了所有COMSOL MULTIPHYSICS WITH MATLAB中用到的矢量计算基础知识。所以也可以将该附录当作是COMSOL MULTIPHYSICS WITH MATLAB多变量微分计算的入门读本。当我们写该附录时曾经争论过是否将这部分内容直接加入到第一章（数值分析基础）中，因为导数的数值近似是偏微分方程求解的基础，而偏微分方程是COMSOL MULTIPHYSICS的基本运算单元。确实，在学习波谱法求解偏微分方程时，基本理论就是“导数理论”——如何使用波变换方法来近似导数。所以通过对比发现，有限元方法的基础就是数值微分。所以争论就不存在了，第一章主要是关于COMSOL MULTIPHYSICS直接计算的基本问题的。但是不管多有用，近似导数仍然只是建模的一个中间步骤，不是目标本身。 我们这里只考虑用于矢量计算的MATLAB基础，本附录的重点在于特征值分析和逻辑表达式。这些在整本书中都有体现。应当注意到我们这里介绍的每个功能都可以在COMSOL Script中实现。本书中唯一不能在COMSOL Script中实现的Matlab命令就是fminsearch。 1．矢量回顾 1.1 矢量表达 FEMLAB可以处理标量、矢量和矩阵数据，这里简单介绍一下矢量的表达（作为MATLAB矩阵数据类型的一个特例）。标量可以作为一个单独的数，但是矢量是具有大小和方向的。在如图1所示的右手坐标系系统中，向量a用以下形式表达： (1) 这里，和是坐标方向的单位矢量，，，是向量在各轴方向上的分量。它们是对各单位矢量，和的投影。对于坐标系中的P点（x，y，z），矢量P对于初始坐标系统O的位置为： (2) MATLAB用分量的形式描述列矢量或行矢量： a = [1; 2; 3]; % column vector a = [1 2 3]; % row vector 在行向量中，空白（任意连续空格）作为分界符。列向量用分号或者回车符分界： a = [1 2 3]; 1.2 内积，矩阵乘法，单位矢量和矢积 典型的内积（或点积）定义为： (3) 这里是矢量和的夹角。为了在MATALB中达到相同的目的，我们使用*运算符： a = [1; 2; 3]; b = [-3 2 -1]; b*a ans = -2 这是一个行向量（1×3矩阵）乘以列向量（3×1矩阵）的特殊情况。因为前者的列数和后者的行数相等，这两个矩阵是相容的，可以根据矩阵乘法通用法则计算。 (4) 如果A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，则AB是m×l矩阵。如果共用的维数不同，那么矩阵不相容，不能定义乘法运算。MATLAB也可以将标量乘法作为特殊矩阵乘法来计算，但是必须考虑矩阵的相容性。例如 a*b ans = -3 2 -1 -6 4 -2 -9 6 -3 出现了什么情况？很简单，a是3×1矩阵，乘以1×3矩阵b，得到的ab是3×3矩阵。 (5) 对于向量，矩阵(ab)ik称为a和b的并积或并矢。这是矩阵外积的特殊情况，这里标量乘积也算内积。 在MATLAB中通过转置运算符“’”可以实现两个行向量或两个列向量的内积，它是一个一元运算符，容易被误解为英语中的缩写符号。 ans = -2 but a*b’ ans = -3 2 -1 -6 4 -2 -9 6 -3 仍然产生并矢。必须自己考虑矩阵的相容性。如果a和b是行向量，那么*a或a*将产生内积还是外积？出于这个原因，MATLA