求曲线轨迹方程的几种常见的方法.docVIP

求曲线轨迹方程的几种常见的方法 【摘要】求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系。 【关键词】轨迹 轨迹方程 圆锥曲线 求曲线的轨迹方程问题是解析几何中的一个非常重要的问题。这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题也成为高考命题的热点。 一、轨迹方程的正确理解 轨迹是动点按某种规律运动所形成的图形，或理解为具有某种性质的点的集合，它满足：图形上的点具有某种性质；具有该性质的点在图形上。 在坐标平面上，点与有序实数对(x , y)建立了一一对应关系，于是动点具有的某种共同性质就可以用含其坐标x、y的二元方程F(x ，y)= 0 来反映，这就形成了轨迹方程，当然F(x ，y)= 0作为轨迹方程，须满足：具有某种性质的点的坐标都满足方程F(x ，y)= 0；以方程F(x ，y)= 0的解为坐标的点都具有某种性质。一般情况下我们省略检查方程的解对应的点都是符合要求的点这一过程。 二、求曲线轨迹方程问题的常见的几种方法 1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 三、经典例题解析 1、直接法 例：已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。 【】：设MN切圆C于N，则。设,则 化简得 当时，方程为，表示一条直线。 当时，方程化为表示一个圆。例：如图所示，已知点P为圆R：(x + c)2 + y2 = 4a2上一动点，Q (c, 0)为定点 (c＞a＞0，为常数)，Q为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹方程. 【】：由题意，|MP| = |MQ|，|RP| = 2a. ∴|MR| – |MQ| = |MR| – |MP| = |RP| = 2a＜|RQ| = 2c ∴点M的轨迹是以R、Q为两焦点，实轴长为2a的双曲线右支. 又|RQ| = 2c，∴双曲线的中心在(0, 0)，半焦距为c，故点M的轨迹方程是=1 (x≥c + a). 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； 【】(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 (2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0), 由　得 由,点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m - 1 -