求函数f(x)周期的几种常见方法.docVIP

求函数f(x)周期的几种常见方法 　　 函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考． 　　 1 定义法 　　 根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法． 　　 　　 　　 　　 　　 (1) 　　 　　 ∴f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期． 　　 注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x＋2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T是f(x)的周期． 　　 　　周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由． 　　 (1) 　　 ∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a] 　　 (2) 　　 　　 ∴f(x)为周期函数，3a是它的周期． 　　 2 特殊值法 　　 当题设条件中有f(m)＝n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效． 　　 　　 f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由． 　　 　　 ∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期． 　　 3 变量代换法 　　 例4 设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由． 　　 解 在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996) (x∈R)中，以x代x＋1995，得 　　 f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)； (1) 　　 在(1)中以x＋1代x，得 　　 f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)． (2) 　　(1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0， 　　 ∴f(x－1)＝－f(x＋2)． (3) 　　 在(3)中以x＋1代x，得 　　 f(x)＝－f(x＋3)； (4) 　　 在(4)中以x＋3代x，得 　　 f(x＋3)＝－f(x＋6)． (5) 　　 将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)． 　　 ∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期． 　　 4 递推法 　　 　　 f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由． 　　 　　 (1) 　　 在(1)中以x＋2代x，得 　　 f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)． (2) 　　(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0， 　　 ∴f(x)＝－f(x＋6)． (3) 　　 在(3)中以x＋6代x，得 　　 f(x＋6)＝－f(x＋12)． (4) 　　(4)代入(3)，得f(x＋12)＝f(x)． 　　 ∴f(x)为周期函数，12是它的一个周期． 　　 5 消去法 　　 例6 若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f (5＋x)＝f (5－x)，f (7＋x)＝ 　　 f (7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由． 　　 解 在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x代x，得 　　 f(x)＝f(10－x)； (1) 　　 在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x代x，得 　　 f(x)＝f(14－x)． (2) 　　 由(1)和(2)，得 　　 f(10－x)＝f(14－x)． (3) 　　 在(3)中以10－x代x，得f(x＋4)＝f(x)． 　　 ∴f(x)是周期函数，4为它的一个周期． 　　 6 结构类比法 　　 　　 f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由． 　　解： 　　 　　 可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2π是它的一个周期．下面进行证明： 　　 　　 于是f(x＋2π)＝f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)． 　　 ∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期． 　　 7 公式法 　　 例8 已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称(a＜b)． 　　 (1)求证：f(x)＝f(2a－x)，f(x)＝f(2b－x)； 　　 (2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期． 　　 证明 (1)∵ f(x)的图象关于直线x＝a对称，且图象连续，不是平行于x轴的直线， 　　 ∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于x＝a的对称点P的坐标为P(x，y), 　　 　　 同理可证 f(x)＝f(2b－x)． 　　 解 (2)由(1)可知，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)，