《数值分析》习题课.pptVIP

* 《数值分析》习题课 I 误差与有效数字 二分法、牛顿迭代法 不动点迭代与收敛阶 典型例题与习题 具有n 位有效数字,则绝对误差满足 2/18 相对误差满足 如果一个浮点数 1. 设x*是 f(x)=0在[a, b]内的唯一根,且 f(a)·f(b)0,则二分法计算过程中, 数列 满足: | xn – x*|≤ (b – a)/ 2n+1 2. Newton迭代格式: 3. 弦截法迭代格式: (n = 0, 1, 2 , ·····) 3/18 定理 如果 ,满足条件: ; (2) 则: 区间[a, b]内存在唯一的不动点 x* ; 设 , 若存在 a0 , r0 使得 则称数列{xn} r 阶收敛. 且对任意 x0∈ [a, b] , 迭代格式 产生的序列 { xn }收敛到不动点 x*,误差满足 4/18 数列加速收敛原理 定理2.6 设x*是 的不动点,且 而 则 p阶收敛 5/18 例1.设x1 = 1.21,x2 = 3.65,x3 = 9.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1×(x2+x3)的误差限。 解：由|e(x1)|≤0.5×10-2，|e(x2)|≤0.5×10-2， |e(x3)|≤0.5×10-2 所以, |e(x2+x3)|≤10-2 |e(x1×(x2+x3))|≤ (1.21+0.5×13.46)×10-2 =7.94×10-2 Ex1. 若要 x1×(x2+x3)的误差限为0.5×10-2,问数据x1, x2, x3 应该具有几位有效数? 6/18 例2.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量球半径R 的相对误差限最大为多少? 解：由球体计算公式分析误差传播规律 故当球体V 的相对误差限为 1% 时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。 ? ? 相对误差传播规律 Ex2. 对 z = f(x,y),若允许其相对误差为1%,问应该对x, y 如何限制? 7/18 例3. 采用迭代法计算 ，取x0 = 2 (k = 0，1，2，……) 若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。 8/18 思考：反问题？ 1-8 序列{ yn }满足递推关系 yn = 10yn-1 – 1 (n = 1,2,·····) 若取 y0 =√2 ≈1.41(三位有效数字).递推计算 y10 时误差有多大？计算过程稳定吗？ 解: 取 x0 = 1.41,则e(x0)≤0.005 e(xn) = 10e(xn-1) (n = 1,2,······,10) e(x10) = 10 e(x9)= ······ =1010e(x0) |e(x10)| = 1010 |e(x0)| ≤0.5×108 计算过程不稳定！ 9/18 1-12 利用级数 可计算出无理数? 的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn 在其极限值上下摆动，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值 | an+1|。试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。 解: 由部分和 10/18 ?2-6? 应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性。 解：令 f(x) = x3 – a，则牛顿迭代公式 故立方根迭代算法二阶收敛 11/18 例 4.设a 为正实数，试建立求1/a 的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。 xn+1 = xn(2 – a xn)，( n = 0，1，2 ……) 所以,当| 1 – a x0| 1 时，迭代公式收敛。 解:建立方程 利用牛顿迭代法，得 1 – a xn+1 = (1 – a xn)2 整理，得 12/18 例5. 若 x*是f(x)=0的二重根,分析牛顿迭代法的收敛性？ 解: 由于 f(x)=(x – x*)2g(x) Ex. 若 x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛性 13/18