n-三角形网格中三边形、四边形的计数.pdfVIP

第24卷 第 1期 江苏教育学院学报(自然科学版) Vo1．24 NO．1 2007年 1月 JournalofJiangsuInstituteofEducation(NaturalSciences) Jan．．2007 n一三角形网格 中三边形 、四边形的计数 朱尧兴 左克军 (1．苏州机电高等职业技术学校，江苏苏州 215002；2．南京广播电视大学 ，江苏南京 210029) 摘 要 n一三角形网格 ，就是在一个三角形内，平行于三边分别作n一1条平行线，且将边n等分，所形成的三角形网格 图．本文计算了n一三角形网格 中所含三边形、四边形的数量． 关键词 网格 ；计数；三边形；四边形 1 问题的提出 n一三角形网格，就是在一个三角形内，平行于三边分别作a一1条平行线 ，且将边n等分 ，所形成的三角形网格图．如图1为 2一三角形网格． D l 2 图 1 图2 为了方便讨论 ，我们建立如图2的坐标系． 那么n一三角形网格中的每一点都有唯一的坐标 (i√)，0≤i，，≤n．例如图2中点A(1，2)．显然任意两个点(√)和(m，k)相连 的充分必要条件为 m或J=k或 i+ =m+k． 我们按照逆时针的顺序排列n一三角形网格中所含多边形顶点的次序，其中第一个点的纵坐标为最大，且横坐标与纵坐标之 和也是最大．例如 图2中三边形 ABC：(1，2)(1，1)(2，1)． 本文将研究在这 n一三角形网格中所含三边形 ，平行四边形和梯形的计数． 2 一三角形网格中三边形的计数 定理 1 n一三角形网格中所含三边形的个数为 (n)=G：+2十． () (n≥2)，T(1)=1， f等，k为偶数 其中 { 奇数 证 明：显然 T(1)=1． 考虑 n一三角形网格中三边形的构成，可以分为三类： (I)三边形的三个顶点都不在直线 Y=n上； 一 59 — (11)三边形中有两个顶点在直线 +Y=n上 ； (Ⅲ)三边形中恰有一个顶点在直线 +Y=n上． 对于 (I)中的三边形个数为T(n一1)； 对于 (Ⅱ)中的三边形个数为 +。； 对于(Ⅲ)中的三边形：设点 (k，n—k)在直线 +Y=H上(=0，1，2，…，H)，则三边形为 ： (，n—k)(i，，l—k)(k，n一2k+)，其中0≤ik，0≤n一2后+i． 记含点(，一七)的三边形个数为。()，则七≤÷当时，。()=]|}；当k孚时，。(j})=n一，所以第(1lI)类的三边形个数为 f÷，n为偶数 0 ^=”l{n—l，～． 所 以 71()=T(n一1)+c：+l () 从而 (n)=c：+ ()， (，t≥2)·证毕 3 凡一三角形网格中平行四边形的计数 定理2 n一三角形网格中所含平行四边形的个数为 Q(11,)=3 +2 ( ≥2)， Q(1)=0． 证明：如图3，n一三角形网格的外三个顶点为0，R，s． 记A={平行四边形 I有一组边平行于 Os}，B={平行 四边形 I有一组边平行于 OR}， C={平行四边形 I有一组边平行于 }．显然 lIAIl=lIBII=IICll(1IAIl为A中 元素的个数)． 由于n一三角形网格中任一个平行四边形的两组平行边分别平行于三角形网格中的 两边，故任一个平行四边形必恰同时属于A或曰或C中的两个集合 ，故