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第五章 接触问题的非线性有限元分析 5.1 引言 在工程结构中，经常会遇到大量的接触问题。火车车轮与钢轨之间，齿轮的啮合是典型 的接触问题。在水利和土木工程中，建筑物基础与地基，混凝土坝分缝两侧，地下洞室衬砌 与围岩之间，岩体结构面两侧都存在接触问题。对于具有接触面的结构，在承受荷载的过程 中，接触面的状态通常是变化的，这将影响接触体的应力场。而应力场的改变反过来又影响 接触状态，这是一个非线性的过程。由于接触问题对工程实践的重要性，本章将作为专门问 题进行研究。 最早对接触问题进行系统研究的是 H. Hertz ，他在 1882 年发表了《弹性接触问题》一 书中，提出经典的 Hertz 弹性接触理论。后来 Boussinesg 等其他学者又进一步发展了这个理 论。但他们都是采用一些简单的数学公式来研究接触问题，因而只能解决形状简单（如半无 限大体）、接触状态不复杂的接触问题。 二十世纪六十年代以后，随着计算机和计算技术的发展，使应用数值方法解决复杂接触 问题成为可能。目前，分析接触问题的数值方法大致可分为三类：有限元法、边界元法和数 学规划法。 数学规划法是一种优化方法，求解接触问题时，根据接触准则或变分不等式建立数学模 型，然后采用二次规划或罚函数方法给出解答。 边界元方法也被用来求解接触问题，1980 年和 1981 年，Anderson 先后发表两篇文章， 用于求解无摩擦弹性接触和有摩擦弹性接触问题。近年来虽有所发展，但仍主要用于解决弹 性接触问题。 就目前的发展水平来看，数学规划法和边界元法只适合于解决比较简单的弹性接触问 题。对于相对复杂的接触非线性问题，如大变形、弹塑性接触问题，还是有限元方法比较成 熟、比较有效。 早在 1970 年，Wilson 和 Parsons 提出一种位移有限元方法求解接触问题。Chan 和 Tuba， Ohte 等进一步发展了这类方法。它的基本思想是假定接触状态，求出接触力，检验接触条 件，若与假定的接触状态不符，则重新假定接触状态，直至迭代计算得到的接触状态与假定 状态一致为止。具体做法是： 对于弹性接触的两个物体，通过有限元离散，建立支配方程 K δ R (5.1) 1 1 1 式中，K 1 为初始的整体劲度矩阵，它与接触状态有关，通常根据经验和实际情况假定。δ1 是结点位移列阵，R 为结点荷载列阵。 1 求解式（5.1 ），得到结点位移δ ，再计算接触点的接触力P ，将δ 和P 代入与假定接 1 1 1 1 触状态相应的接触条件，如果不满足接触条件，就要修改接触状态。根据修改后新的接触状 态，建立新的劲度矩阵K 2 和支配方程 K δ R (5.2) 2 2 2 再由式（5.2 ）解得δ ，进一步计算接触力P ，将δ 和P 代入接触条件，验算接触条件是 2 2 2 2 否满足。这样不断的迭代循环，直至δ 和P 满足接触条件为止，此时得到的解答就是真实 n n 接触状态下的解答。 在以上的研究中，没有考虑接触面的摩擦力。不考虑摩擦力的接触过程是一种可逆的过 程，即最终结果与加载途径无关。此时，只需要进行一次加载，就能得到最终稳定的解。如 果考虑接触面的摩擦力，接触过程就是不可逆的，必须采用增量加载的方法进行接触分析。 1973 年，Tusta 和 Yamaji 的文章详细讨论了接触过程的可逆性和不可逆性。 从 Wilson 和 Parsons 的方法可看出，每一次接触状态的改变，都要重新形成整体劲度矩 阵，求解全部的支配方程，既占内存