南京航空航天大学《高等数学》3.9曲率.pdf

第九节 曲率 弧微分 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径 1 一、弧微分 设函数f (x )在区间(a, b)内具有 y 连续导数.在曲线上取固定点 N ( , )作为度量曲线弧长 ( ) T A x 0 y 0 s x M A R 的基点, M (x , y )为曲线上任一点 . 规 o x0 x x +Δx x 定： (1) 曲线的正向与x 增大的方向一致 ; j j (2) AM s (x ) (增函数 )当AM 的方向与曲线正向 一致时 , s ( x )取正号 ;相反时 , s ( x )取负号 . 单调增函数 ′ s s(x ) , s (x ) 0. 2 y N 计算弧微分: ds=s′(x)dx T 设N (x +Δx , y +Δy ), j A M R 如图， 设MN=Δs j j 2 2 o x0 x x +Δx x Δ +Δ Δs MN MN MN x y 则 ⋅ Δx MN Δx MN Δx j MN x 当Δ →0时, lim 1 Δx →0 MN 2 2 Δy 2 ′2 MN (Δx ) +(Δy ) 1+( ) Δx → 1+y dx, Δx ′ Δs ′2 ′2 s x 故 ( ) lim 1 +y , ds 1 +y dx Δx →0 Δx ∵s s(x )为单调增函数, 故ds 1 +y ′2 dx. 弧微分公式 3 二、曲率概念及其