简讲-46-1章-6节中心极限定理.pptVIP

第六节 中心极限定理 中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限. 的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布. 考虑 中心极限定理 这就是下面要介 绍的 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 它表明，当n充分大时，n个具有相同期望和方差的独立同分布的r.v.之和近似服从正态分布. 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…，则 虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ …+Xn 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 例6.1 集宁肉联的肉罐头是用机器包装的，有一种肉罐头的平均重量是1斤，方差为0.52。一个大纸箱装有48个肉罐头，它的平均重量是480两，方差为 0.52×48=12。求一箱罐头总重量超过496两的概率。 还有如下的作用： 将左式的分子与分母同时除以n，得 可以看作从平均数为μ，标准差为σ的 总体中，抽取的含量为n的样本的平均数。因 此，可以得到如下重要定理： 前面介绍的棣莫佛－拉普拉斯定理 （二项分布的正态近似）是上述定理的特殊 情况. 若已知总体平均数为μ，标准差为σ，那么，对于从该总体所抽取的含量为n的样本，当n充分大时，其平均数近似地服从正态分布N（ μ， σ2/n) 定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).