计算机图形学04：自由曲线和曲面.ppt

B样条曲面的特点： B样条曲面构造方法是Bezier曲面方法的推广，它用B样条基函数代替Bezier方法中的Bernstein基函数来反映控制顶点对曲面形状的影响。它在保留了Bezier曲面设计方法几乎所有优点的同时，解决了Bezier曲面设计中存在的局部性修改问题。 非均匀有理B样条曲面（NURBS） 给定一张(m+1)x(n+1)的网格控制点 Pij (i=0,1,…,m; j=0,1,…,n),以及各控制网格点的权值Wij (i=0,1,…,m; j=0,1,…,n)，则其确定的NURBS曲面的表达式为： NURBS曲面的特点： 规则曲面与自由曲面精确的统一的数学表示。 有多种方式定义曲面，但构造这些曲面的数学基础以及在造型系统中存储它们的方法是相同的。 NURBS方法已成为众多CAD/CAM系统的基本几何表达式和数据交换标准。 Bezier曲线表达式 二次Bezier曲线： P(t) = (1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2 三次Bezier曲线： P(t) = (1-t)3P0+3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t) P2 +t3P3 3 Bezier曲线 Bezier曲线 1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 用于汽车设计的UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用 Bezier曲线 Bezier基函数--Bernstein多项式的定义 * Bezier曲线 Bezier基函数--Bernstein多项式的定义 * Bezier曲线 Bernstein基函数的性质 正性 权性 对称性 降阶公式 升阶公式 * Bezier曲线 导数 积分 最大值 在t = i/n处取得最大值 线性无关性 是n次多项式空间的一组基 * Bezier曲线 Bezier曲线的定义 n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线 控制顶点 控制多边形 P0 P1 P2 P3 * Bezier曲线 对称性 不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变 * Bezier曲线 凸包性 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内 * Bezier曲线 多值性 P1 P4 P2 P0=P5 P3 * Bezier曲线 二次Bezier曲线 n=2 抛物线 P0 P2 P1 M P(0.5) P(1) P(0) * Bezier曲线 三次Bezier曲线 n=3 P0 P1 P2 P3 P(0) P(1) * 缺点： 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活 Bezier曲线 * 4 B样条曲线 产生： 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线 优于Bezier曲线之处： 与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便 * B样条曲线 定义： 给定m+n+1个空间向量 ，(k=0,1,…,m+n)，称n次参数曲线 为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,…,m） 它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性 * B样条曲线 为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段 基函数为B样条函数 * B样条曲线 二次B样条 n=2 抛物线 B0 B2 B1 M P(0.5) P(1) P(0) * B样条曲线 三次B样条 n=3 B0 B1 B2 B3 * B样条曲线 三次B样条的C2连续性 如果增加一个控制顶点P4，则前一段曲线是否会受影响？ P(t) P4 B-样条曲线表达式 与Bezier样条相比的优点： 1) B-样条多项式次数独立于控制点的个数。 2) B-样条允许曲线和曲面可以局部控制。 B-样条的基函数比Bezier的基函数更为复杂。 4 B-样条曲线 B-样条基函数 4 B-样条曲线 i = 0, 1, …n B-样条曲线 局部性、凸包性、直线再生性、 分段参数多项式曲线、连续性、 导数曲线、仿射不变性、平面保型性 4 B-样条曲线 非均匀有理B样条(NURBS) 一条k阶（k-1次）非均