计算方法(六)插值函数应用.ppt

另外，还可以推出 一般地，有如下Romberg方法： 例. 用Romberg方法求 第六章 数值积分 1) 区间迭代法 2) 区间截断 3)变量替换 4) Gauss求积公式 6.4 矩形域上二重积分 例，构造求解 的具有3次代数精度的数值积分公式。 ，此求积公式具有2个Gauss节点。 ，则取Gauss节点、求积系数： 从而，得 解：由 作变量替换： 若取 则具有3次代数精度公式为： 例2，确定 使以下的求积公式为Gauss型求积公式 解：首先构造 上关于 的首项系数为1的二 次正交多项式，为此可设 ， ， ，从而有 ， ， 。 则 其零点为： 令 ，用代数精度定义得： 从而 。 5.3 外推加速与Romberg算法 5.3.1 逐次分半法 可以推出 以复合梯形公式为例。 和 的如下关系（逐次分半法） 其中 复化梯形公式 每个小区间上积分余项 停止准则： 因此 即 类似地 因此 可以将 作为迭代停止标准 5.3.2 外推加速与Romberg算法 将复化梯形公式写成 上面已经推出， 是积分 的更好近似。类似可以推出 是越来越好的近似。 可以记成 当 时停止 ，误差不大于 解. 由于 停止运算.取 真值为 6.2. 广义积分 6.2.1 无界函数积分 设 在 上连续,在 附近无界.计算 令 是一个收敛于 的点列, 例如 依次计算 可以在 时停止. 每一个 可以用(例如)Romberg 方法计算 如果能够推出 则可以用 近似替代 例. 计算 其中 并且 解. 因为在 上, 因此 要求误差不大于 可以取 例如, 计算 其中 做变量替换 ,则化成正常积分 * 插值函数的应用 第 5 章 插值函数的应用 插值方法是一种重要的函数逼近方法，它在 数值微积分和常微分方程数值解中有重要应用． 由 Newton-Leibniz公式，连续函数 在 上的定积分 其中 是 的原函数。 5.1.1 数值求积公式及其代数精度 无能为力。 不能用初等函数表示，即 找不到原函数； ， ， 没有解析表达式，用表格方式给出时； 大多数的无穷积分，除特殊的无穷积分外。 N-L公式已经 但是大多数实际问题， 常常遇到的困难是： 虽然找到 的原函数，但是太复杂 上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。 （5-1） 设 是定义在 上的可积函数，考虑带权积分 在 上非负可积，且至多有有限个零点。 其中权函数 所谓数值求积就是用 本节只讨论 的情形。 近似计算 的值。 ． （5-2） 数值求积公式 公式（5-2）称为数值求积公式， 是与 无关的常数，称为求积系数， 其中 上的点 称为求积节点。 求 积 系 数 求积节点 大家熟知第一积分中值定理： 但是 具体位置未知。 其几何意义为： 数值积分公式产生的背景 矩形 的面积= 曲边梯形 的面积。 我们可以采用不同近似方法得到下述数值求积公式： 称为左矩形数值求积公式； 称为右矩形数值求积公式； 称为中矩形数值求积公式； 称为梯形数值求积公式。 （称为步长），将分点 取为插值节点（也是求积节点）， 得到的数值求积公式称为插值型求积公式。 本节采用的逼近函数是 在等距节点上的插值多项式， 进行 等分，令 将 则 可表示为它的Lagrange插值多项式及其余项之和，即 （5-3） 所以 称为 点的Newton-Cotes公式，其中求积系 这样得到的插值型求积公式 (5-6) （5-4） (5-5) 求积余项 (5-7) 标志着求积公式的误差大小。 时的三个公式， 在Newton-Cotes公式中，最常用的是 (5-8) 此时 这就是梯形求积公式： 即 梯形求积公式 此时 这称为Simpson求积公式： (5-9) 进一步可得 Cotes公式 (5-10) Simpson求积公式 Cotes求积公式 练习题 用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分 解： 由梯形求积公式： 由Simpson求积公式： 练习题 用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分 解： 由