基于双阶样条代数双曲B样条升阶及割角算法 - 计算机学报.docVIP

基于双阶样条的代数双曲B样条升阶及割角算法 张 波 汪国昭 （浙江大学数学系计算机图象图形研究所 杭州 310027 ） 摘要 本文考虑代数双曲B样条曲线的升阶问题，从理论上证明了曲线的升阶可以理解为控制顶点的割角过程．为了实现代数双曲B样条曲线的升阶，本文构造了一组基函数：双阶代数双曲B样条基函数，这组基函数并不具有统一的阶数，而具有“双阶”性质．代数双曲B样条基函数与双阶样条基函数之间的变换公式可以导出曲线升阶的割角算法． 关键词 双阶样条；代数双曲B样条曲线；升阶；割角算法 1 引 言 B样条曲线在计算机辅助几何设计（CAGD）中占有十分重要的地位，但它也存在一些缺陷，例如B样条曲线不能精确表示在CAD/CAM中广泛应用的圆锥曲线．为了克服这一局限，很多文献提出许多模型，例如Wang和Chen在文献[1]中以为基构造非均匀代数三角（NUAT）B样条曲线，可以精确表示圆锥螺线和摆线．Li和Wang在文献[3]中以为基构造代数双曲B样条（AH B-basis）曲线，能够精确表示一类重要的曲线，例如悬链线与双曲线等． 样条曲线的升阶在几何造型中是十分重要的，Bézier曲线的升阶可以理解为控制顶点的割角过程，对于B样条曲线，也有很多文献提出相关算法（例如文献[4][5][6][7][8][9][10]）．这些算法也可运用到代数双曲B样条曲线，但这些升阶算法不能理解为割角算法． 本文考虑代数双曲B样条曲线的升阶问题．不同于以往的升阶算法，本文通过构造一类新的样条基函数：双阶代数双曲B样条基，来实现代数双曲B样条曲线的升阶．由这组新基可以构造一类新的参数曲线：双阶代数双曲B样条曲线．这类参数曲线有如下特点：曲线由两段阶数不同的代数双曲B样条曲线组成，前段曲线的阶数比后段曲线高一阶．通过寻求样条基函数的相互关系，实现了代数双曲B样条曲线的升阶． 2 代数双曲B样条曲线及其升阶问题 2.1　代数双曲B样条曲线的定义 设是给定的节点向量，则空间=中由下列递推方式所定义的函数称为相应于节点向量的阶代数双曲B样条基函数 其中，并且规定． 当为均匀节点向量时，可以得到文献[2]中定义的均匀双曲多项式B样条基函数．文献[3]证明了代数双曲B样条基函数有类似于B样条基函数的性质，如局部支撑性、归一性、正性、线性无关性等，并进一步证明了代数双曲B样条基是B基． 定义阶代数双曲B样条曲线．代数双曲B样条曲线有类似于B样条曲线的性质，如凸包性、几何不变性、局部调整性、连续阶性质、变差缩减性等． 2.2　代数双曲B样条曲线的升阶问题 考虑阶代数双曲B样条曲线，其中是控制顶点，为定义于节点向量上的代数双曲B样条基函数．为了下文叙述方便，将节点向量改写为，其中表示表示节点的重数，并且规定． 与B样条曲线类似，阶代数双曲B样条曲线是在空间中构造的曲线，它完全可以在空间=中精确表示，即可以将阶代数双曲B样条曲线升阶为阶．存在控制顶点与节点向量，满足，因此代数双曲B样条曲线的升阶过程可归结为节点向量和新控制顶点的求解过程． 曲线是在高维空间的一个嵌入，两曲线的几何形状与参数完全相同，且曲线与有相同的连续性，由曲线在节点处的连续阶性质得到新节点向量应具有以下形式：．曲线的升阶问题进而转化为新控制顶点的求解问题． 一个直观的升阶方法是将升阶问题转化为线性方程组的求解，设，计算和在适当的个值处的函数值，可以得到个关于控制顶点的线性方程，求解此线性方程组便可以得到新控制顶点的表达式． 另外一种方法可以仿照文献[8]得出，首先将节点向量中节点的重数嵌为，这样便由原曲线得到段分别定义在上的代数双曲Bézier曲线，然后利用文献[3]中的方法对这段曲线分别进行升阶，最后根据曲线在节点处的连续性要求移去冗余的节点，完成曲线的升阶． 以上两种方法的共同特点是一次性的增加节点重数，然后求解新控制顶点的表达式．这样求得的新控制顶点是原控制顶点的线性组合，升阶的几何意义并不明显．不同于上面两种方法，本文在对代数双曲B样条曲线升阶时，采用逐段升阶的策略，不是一次性的将所有节点的重数增加１，而是在升阶的过程中，依次增加各个节点的重数．设是增加第个节点后的节点向量，由于是逐段升阶，为了能够统一表达已升阶和未升阶的曲线段，我们在上定义一种新的样条基函数，称为双阶代数双曲B样条基函数，基于这类基函数可以构造双阶代数双曲B样条曲线．曲线的特点是具有“双阶”性质，在区间上为阶，在区间上为阶，利用它可以统一的表示已升阶和未升阶的曲线段． 3 双阶代数双曲B样条基函数 3.1 双阶代数双曲B样条基函数的定义 改写节点向量 ，其中 ，设为双阶代数双曲B样条基函数的阶数，设，则可由下列方式定义节点向量上的双阶代数双曲B样条基函数． 当时，定义