基于区间B样条小波有限元薄板弯曲和振动分析.pdfVIP

基于区间B 样条小波有限元的薄板弯曲和振动分析 向家伟 陈雪峰 李兵 何育民 何正嘉 西安交通大学机械工程学院，西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室，西安710049 wxw8627@163.com 摘 要： 基于二维张量积区间B 样条小波及小波有限元理论，研究了用于薄板动静力学分析的区间B 样 条小波有限元法。在小波有限元用于薄板分析的列式过程中，传统多项式插值被二维区间B 样条小波尺度 函数取代，对横向位移场进行插值逼近，然后由Galerkin 变分原理得到小波有限元求解方程组。该方法具 有B 样条函数数值逼近精度高和多种用于结构分析的小波基函数的优点。数值算例表明：区间B 样条小波 有限元法具有求解精度高，求解自由度少等优点，是工程中进行高性能计算的一种有效工具。 关键词：区间B 样条小波 有限元法 薄板分析 模态分析 1. 引 言 小波有限元方法是近年发展起来的一种新的数值分析方法，用尺度函数或小波函数替代 传统的多项式作为逼近函数，利用小波多分辨的特性，可以获得用于结构分析的多种基函数， [1] [2-5] 针对求解问题的精度要求，采用不同的基函数。因此，在数值计算 和结构分析领域 吸 引了众多的研究者。美国学者Basu 在比较了工程数值计算不同方法的基础上，认为计算机 时代广为使用的有限元法（Finite Element Method, FEM ），边界元法（Boundary Element Method, BEM ）和无网格法已经取代了有限差分和Ritz 型方法，在不久的将来，这些方法有 [5] [1] 可能被小波方法取代 。文献 证明了小波数值方法收敛于一大类椭圆算子方程，包括椭圆 偏微分算子和奇异积分算子。文献[2] 综述了小波有限元理论、自适应小波有限元和小波有 限元在求解工程奇异性问题中应用。 区间B 样条小波（B-spline Wavelet on the Interval ,BSWI ）有限元方法是将BSWI 与传 统有限元方法相结合，利用BSWI 尺度函数或小波函数作为插值函数构造小波有限元求解方 程组。利用BSWI 优良的数值逼近性以及能够利用一个BSWI 单元求出边界和内部多个结点 值的特性，在计算中可以用较少的自由度获得较高的精度。同时，区间小波在空间域具有良 [6] 好的局部化性质，能克服求解边值问题时，在边界上数值振荡这一缺陷 。 本文采用二维张量积BSWI 尺度函数作为场函数的插值基函数，从薄板能量泛函出发， 由Galerkin 变分原理得到其有限元求解方程组。数值算例验证了BSWI 单元的正确和有效性， 尤其在求解具有奇异性的斜板静动力学问题时具有很高的精度。 2 ．二维张量积BSWI 经典小波函数是定义在整个实数轴R 上或一个周期函数的平方可积实数空间L2 (R) 上 的完备基，在求解边值问题时，在边界上会出现数值振荡[6] 。为克服这一缺陷，美国学者Chui 和Quak 构造了BSWI ，并给出了快速分解和重构算法[7-8] 。有限区间上的小波，对每一个尺 - 1 - 度空间和小波空间，其维数是有限维的，这样，任何区间上的函数皆可展成有限维的小波级 数，这对于小波有限元分析中单元插值基函数构造具有重要的意义，便于将小波函数作为基 函数应用到有限元方法中。 构造二维小波最简单的方法是对一维小波多分辨逼近空间取张量积。假设m 阶j 尺度下 2 2 1 2 L (R ) 空间中的二维张量积BSW