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关于缓和曲线平行线的探讨 薄志毅(北京煤炭工业学校 100042) 【摘 要】 本文推导了缓和曲线平行线上的点位坐标参数方程，从而为正确测设缓和曲线平行线提供了理论依据，并探讨了缓和曲线平行线的详细测设方法。在公路建设工程中，应用该法可取得较好的效果。 一、前 言城市道路建设过程中，经常遇到缓和曲线型的道路。缓和曲线线型有多种，目前公路建设中，我国采用的是辐射螺旋线。公路的中线为缓和曲线，则其边线按设计要求一般为缓和曲线(中线)的平行线。在实际工作中，存在一些错误认识，将道路边线当作缓和曲线来测设，即套用缓和曲线的计算公式。本文首先论证了该方法的错误所在，然后严密地推导了缓和曲线平行线上点位坐标的参数方程，并提出了缓和曲线平行线(道路的边线)详细测设方法，在实际应用中取得了较好的效果。二、缓和曲线平行线不是缓和曲线 缓和曲线的平行线不是缓和曲线，或者严格地说不再是辐射螺旋线。如图1所示，缓和曲线的起点为ST， 图1终点为CS。缓和曲线上任意一点的曲率半径rho，与该点到缓和曲线起点的曲线长度l成反比，即 (1) 式中，R为圆曲线半径，l０为缓和曲线总长。设缓和曲线上任意一点的切线和曲线起点切线的交角为beta，简称切线角。beta角的计算公式为：(2) 如图1所示，另外一条曲线是缓和曲线的平行线，起点为STprime，终点为CSprime，其上任意一点曲率半径为rhoprime，任意一点到起点STprime的曲线长度为lprime。下面推导rhoprime与lprime之间的关系式。由曲线的性质，可知： 式中，D为中线与边线的间距，将(1)式代入上式得 (3) 切线角beta的微分dbeta与曲线长微分dl及dlprime存在下面关系： 整理上式，得 将(1)、(3)两式代入上式，得 对上式进行积分，得(4) 由上式解方程，可得 (5) 将(5)式代入(3)式，得rhoprime与lprime的关系式：(6) 对上式进行分析，显然rhoprime与lprime不成反比，因此缓和曲线的平行线不具备缓和曲线的特性，从而从理论上证明了缓和曲线平行线不再是缓和曲线。这一点在实际工作中，也可以得到证实。 三、重新推导缓和曲线上任意一点点位坐标参数方程 在有关文献中，对缓和曲线上任意一点p的直角坐标公式都进行了推证，公式中的参数是曲线长度l。其具体表达式为：(8) 为推导缓和曲线平行线上任一点点位坐标之需，下面以切线角beta为参数，推导缓和曲线上任意一点p的直角坐标公式。由图1中可以看出，缓和曲线上任意一点p的曲线微分dl与对应的dx及dy的关系式如下：(10) 曲线微分dl与切线角beta的微分dbeta的关系如下：(11) 将(1)、(2)两式代入(11)式，得　(12) 将(12)式代入(9)、(10)两式，得 以切线角beta作为积分变量，对上面两式进行积分，得 (14) 将cosbeta与sinbeta按麦克劳林公式展开：(16) 将(15)式代入(13)式，得 (17) 将(16)式代入(14)式，得(18) 将(2)式分别代入(17)、(18)两式，可得出与(7)、(8)两式相同的结果。 四、推导缓和曲线平行线上任意一点点位坐标参数方程 如图1所示，坐标系统不变。在边线上任取一曲线微分dlprime，dlprime与dx、dy的关系如下： 曲线微分dlprime与切线角微分dbeta的关系如下：将(1)、(2)两式代入上式，得(21) 将(21)式代入(19)、(20)两式，得(22) (23) 对(22)式取定积分，得边线上任意一点q的纵坐标xq：(24) 将(13)式代入(24)式，得(25) 将(7)、(2)两式代入上式，得(26) 对(23)式取定积分，并考虑到边线起点的横坐标为y=-D，则有：(27) 将(14)式代入上式，得 (28) 将(8)、(2)两式代入上式，得(29) (26)、(29)两式，就是缓和曲线平行线上任意一点坐标的参数方程，其参数是缓和曲线长度l。利用缓和曲线长l和平行线曲线长度lprime之间的关系，即利用公式(5)，也可将(26)、(29)两式中的参数转换成平行线的长度lprime。实际上，对图1认真分析，根据曲线的几何意义，也可以很容易推导出公式(26)、(29)。道路的两侧都有边线(缓和曲线的平行线)，另一侧边线(即内边线)上任意一点坐标的参数方程，其形式与(26)、(29) 两公式一样，只是D的取值为负。即当rhoprimerho时，D取正值；当rhoprimerho时，D取负值