关于独立和完全收敛性进一步探讨.pdfVIP

应用概率统计 第七卷 Chm-eseJournal AppliedP∞babd y 第=期 1991年 5月 “dStat3stiesVo1．7．No．2．M 叼 ．1991 关于独立和完全收敛性的进一步探讨 邵 启 满 (杭州大学) 摘 要 1]pcxopoB最近提出--+ 同题，对此苏淳 缸作了比较完满的回答。本文进一步探讨这些同题与 矩条件之间的等价差系，表 明了在一定条件下这些问题实质上是级数收敛性与矩的存在性问题。 §1．引 言 独立随机变量部分和的完全收敛性 已有许多作者做了研究，如 Katz和 Baumn~，白志东 和苏淳 等，其结果是十分深刻的．最近苏联学者 llpoxOl~B从另一个角度提出探索大数律尾 概率级数的收敛性 问题． 设 1】 …为独立 同分布 的随机变量序列， 。 一 ∑ I， 且 ({)和 ()是定义在 [O，。。)上的两个正值函数， ()单调上升，记 ()一I：()d， 定义 p(8)一暑工(1 l≥8Ⅱ()) ，7(8)一 uJp{(J 1—8Ⅱ())／8} z(8)一sup{n≥1．1 l≥gⅡ(％)) 其中sO为任意给定，工()为事件 的示性函数．问题是： (I)善 () I≥8Ⅱ())。。，V8o (1) 与 (8))。。，Vs：O是否等价? ()善 (P。i J两l≥8Ⅱ)}。。，Vso (2) 与 (Ⅱ ((8)))o。Vs：O是否等价? i —函，I9go年。月1日．收到惨改稿． ‘霍英东教育基金和国家 自菇科学基金茛助的项 目． (il1)… )P{Lsupl☆fIn@)≥8J}oo，VsO (8) 与 (z(8))oo，V80是否等价? 对此，苏淳 散了相当细致自q研究，在一定条件下获得了几个关系的等价，作者 也曾做 过探讨，证 明了(2)与(3)的等价关系．本文的目的在于讨论 (i)式成立 的必要条件 同时探讨 (2)式与矩的存在性的关系．所得结果概括了以往的结论，特别当矩母函数存在时，其结果是 出人意料之外的． 记号说明：[胡表示 的最大整数部分；a 《k 即为 ％一0(6)；若 ，($)严格单谪 财 ， ()表示 ，($)的反函数；log∞为 自然对数，且记 logm~]og(m ( 口))；西( 表示标准正 态分布 函数 ；记 一 ∑三 “ §2．结 果 及 证 明 本文均设 {f(『)，丑 () ≥O)为正值函数，且丑 ()严格单诃 lira 日f)一。。． ” * 记 ()一胁 (∞， 先给出四个条件 (A)存在6oJ使得 O，丑0)≥8丑 (知) (B)存在 ， O使得 V％≥2， 0 ∑砷 ()≤ (¨)《D。∑ () (a)存在D。O，使得 V％》1，州 )≥瓯 (D)存在 吼O，使得 V％》2，