估计量设为总体X未知参数.pptVIP

* 上页 下页 ? 结束 返回 首页 估计量：设θ为总体X的未知参数，用样本（X1，X2，…，Xn）构成的一个统计量 来估计θ的真值，称 为θ的估计量。 参数的点估计(方法)：指用样本统计量的值估计未知参数的值。 估计值：对应于样本的一组观测值（x1，x2，…，xn），估计量 的值 （ x1，x2，…，xn）称为θ的估计值，仍记作 。 本章介绍 ：1）矩估计法；2）极大似然估计法。 §7.1参数的点估计 问题：若总体X的分布函数F(x)的类型已知，但它的一个或多个参数未知,如何估计总体的未知参数？ 想法：用X的一组样本观察值（x1，x2，…，xn）来估计总体中未知参数的值，即用样本统计量的值估计总体中未知参数的值。 第七章 参数估计 mk= E（Xk） ck= E[X-E(X)]k 总体矩 总体矩的估计值 样本矩 = = 显然 通常取 理论根据：格利文科定理。Fn(X) 以概率1收敛于F(X)，可以证明, 只要总体的l阶矩存在,样本的l阶矩依概率1收敛于总体的l阶矩。 一、矩估计法 矩估计法：是用样本矩估计相应的总体矩，用样本矩函数估计总 体矩的同一函数的一种估计方法。 解得θ1，θ2的矩估计量为： 解：由于 据矩估计法有 例1．设总体X~N(μ，σ2 )，试求μ，σ2的矩估计量。 解：由于 E(X)= μ, D(X)= σ2， 据矩估计法有 解得μ，σ2 的矩计量分别为： 即： 即： 例2．设总体X~U[θ1，θ2] ，试求θ1，θ2的矩估计量。 试求θ的矩估计量。 解：由于 E(X)=θ, 根据矩估计法： (k=0,1,2…；0＜θ＜+∞) 又由于 D(X)=θ 故可得θ的另一个矩估计量为 由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的。 例3．设总体X服从参数为θ的泊松分布，即 极大似然估计法是求估计值的另一种方法，最早由高斯(R.A,Gauss) 提出，后来为费史（Fisher)在1912年重新提出，并证明该方法的一些性质． 它是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法． 极大似然原理：一个随机试验有若干种可能的结果Ａ，Ｂ， Ｃ，…．若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对 A出现有利，也即A出现的概率很大． 引例．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球， 乙箱有1个白球99个黑球，今随机地取出一箱，再从取出的一箱中 抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？ 解：甲箱中抽得白球的概率P（白|甲）＝99/100 乙箱中抽得白球的概率P（白|乙）=1/100 白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，根据极大似然原理，既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是从抽取概率大的箱子中抽出的，所以，可作出统计推断：白球是从甲箱中抽出的. 二、 极大似然估计法（Fisher) 设总体X的概率密度函数为 f(x;θ)，(若X是离散型， f(x;θ) 是分布律），则样本（x1,…，xn ）的联合密度函数为： 2、求极大似然估计步骤 这是参数θ的函数，称为样本的似然函数，记为L(θ)。使似然函数取得最大值的 称为 θ的极大似然估计量。这种方法称为极大似然估计法。 (1)写出似然函数 特别地，若θ的取值范围为开集时，可转化为求L(x,θ)的驻点. 取对数lnL，求lnL关于未知参数θ的导数。由导数等于零解得θ的估计值 (2) 求出使L(x;θ)达到最大值的 1、极大似然估计法 二、 极大似然估计法（Fisher) 解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，于是似然函数为： 两边取对数得， 对λ求导数，并使其等于0得， 解这一方程得λ的极大似然估计为： 比如，样本观测值为：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123，n=10。则， 例4．X~P（λ），求λ极大似然估计。 例6．设X~N(μ,σ2）,求μ,σ2的极大似然估计。 得μ，σ2的极大似然估计值为： 则 由 例5．X服从参数为λ的指数分布，求λ的极大似然估计。 解：似然函数L（x1,…，xn;μ,σ2) 解：似然函数为 例7．设总体Ｘ具有[0,θ] 均匀分布，密度函数为： 求未知参数θ的极大似然估计。 解：设x1,…, xn是取自这一总体的一个样本，似然函数为： 显然L是θ的一个单值递减函数。 每一个xi ( i=1,2,3 …,n),所以θ的极大似然估计量为： 对同一个参数