A7.行波法求解一维波动方程初值问题—半无界问题.docVIP

行波法求解一维波动方程的初值问题—半无界问题 行波法求解一维波动方程的两个基本公式： 1.达朗贝尔（dAlembert）公式： ； 2.Kirchhoff公式： 半无界弦的振动问题对于半无界域上波动方程初值问题的讨论，需要根据端点所处的物理状态不同分别加以讨论。 端点固定考虑定解问题 求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数使其在也有定义，这样把半无界区域上的问题转变为上的初值问题。然后利用达朗贝尔公式，求出在上的解。同时使此解满足。这样当限制在上就是我们所要求的半无界区域上的解。 由微积分知识可知，如果一个连续可微函数在上是奇函数，则必有。因此，要使解满足，只要是的奇函数便可。因此对函数关于作奇延拓。我们定义如下： 显然函数上是奇函数。然后考虑初值问题 由Krichhoff公式，上述初值问题的解为 所以原定解问题的解上的限制。于是 当时 当时， 例题1. 求定解问题 该题中奇延拓到即定义 所以根据公式 当 当 如果定解问题（1）的端点条件为:，即： 解法一： 将其端点条件转化为其次形式： 令 V（x,t）=u(x,t)-u(t), 那么 满足求解其中 解法二：设分别满足及 对于,可按端点的半无界问题求解，对于的半无界问题，由给出的定结条件知，此弦振动是单纯由端点的振动规律引起的因此，在部分，弦振动应按右行波传播，故可设解这里F是任意可微函数，代入边界条件得 若令,得于是得到 于是得解 所以将与相加. 所以例题2. 解： f(x,t)= 所以根据公式 当 当 例题解下列问题的初边值问题： 解： 解法一： 令则： 当时： ②当时： 故： = 解法二： 当t即t 当t 例题求下列问题的初边值问题： 对于此类问题，依然可以运用两种方法解答： 解法一： 令 则： v(x,t)满足： 则：①当 故： 当 故： 解法二： 根据推导公式： 本题中， 当 当时 2. 端点自由（1）下面考虑端点自由的半无限长的均匀弦振动的定解问题： 类似地，因为，我们对函数关于作偶延拓。定义如下： 函数, 在上是偶函数。我们考虑初值问题 其解为： 所以所求定解问题的解就是在上的限制。 所以，当时， 当时， 例题：求解 解：该题为半元界弦振动问题端点自由情况下，可直接运用公式：） 当时， 2）当时， （2）如果端点自由的定解问题中的边界条件为，即： 采用类似地处理方法，令 则满足， 此时再利用半元界弦振动问题端点，自由情况下的求解公式求解即可。例：， 解： 当时 2）当时 . .