3-3大数定律与中心极限定理.ppt

* * 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律 §3.4大数定律与中心极限定理 字母使用频率 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 废品率 …… 阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系 列定理统称为大数定律。 依概率收敛 与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性. 的概率几乎等于1，即 则称随机变量序列{ Xn }依概率收敛于 记作 当n充分大时，事件 定义1 如果对于任意 切比雪夫不等式. 则对于任给 0,有 设随机变量X 的数学期望E(X )和方差 存在， 由切比雪夫不等式可以看出,若 越小, 则事件 的概率越大, 即, 随机变量集中在期望附近的可能性越大. 由此可见 方差刻划了随机变量取值的离散程度. 例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率. 解 设每毫升白细胞数为 依题意, 所求概率为 由切比雪夫不等式 即每毫升白细胞数在5200 ~ 9400之间的概率不小于8/9. 几个常见的大数定律 定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律） 切比雪夫 设{ Xn}是相互独立的随机变量序列， 存在，其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，i=1,2, …， 则对任意的ε0， 依概率收敛于其数学期望 . 定理表明: 当 很大时,随机变量序列 的算术平均值 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1. 即当n充分大时， 差不多不再是 切比雪夫大数定律表明，独立随机变 偏差很小的概率接近 于1. 量序列{Xn}，如果方差一致有界，则 与其数学期望 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 推论 设随机变量序列{ Xn } 独立且都服从某 则对于任意 恒有 个分布，它们的数学期望及方差均存在， 即 [注] 一般地，我们要求出随机变量 X 的数学期 来估计EX。当n充分大时，偏差不会太大。 机变量X的分布时求EX的方法，即用 知道EX，上述的推论告诉了我们,在不知随 我们往往在不知随机变量X的分布时，希望 望，必须知道随机变量X的分布。但实际中， 这一点我们将会在数理统计中看到。 定理2 (伯努利大数定律) 设 是 重伯努利试 验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出 即频率 依概率收敛于概率 即 则对于任意的 现的概率为 有 [注]贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，且数学期望E (Xi )=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， 定理3（辛钦大数定律） 辛钦 [注] （1）辛钦大数定律与定理1的推论的区别 在，辛钦大数定律与方差无关。 （3）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特 例,而辛钦大数定律在应用中是非常重 要的。 （2） 由于证明辛钦大数定律要用特征函数 的知识，故证明略。 二、中心极限定理 中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 中心极限定理回答了大量独立随机变量和的 近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机 因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它 的分布就近似服从正态分布. 定理1 李雅普诺夫定理 设随机变量