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第24卷第3期 桂林电子工业学院学报 V01．Z4。No．3 2004年6月 JoURNALoFGUILINUNIVERSITYoFELECTRoNICTECHNoLoGY Jun．2004 2m次贝塞尔曲线降一次逼近及误差分析 白宝刚1，2 (1．温州9f范学院计算机科学与工程系，浙江温州325000； 2．浙江大学cADB[cG国家重点实验室，浙江杭州310027) 摘要：在计算机图形学、计算机辅助几何设计、计算机辅助制造和计算机辅助设计领域中．贝塞尔曲 线降次逼近是一个基本而重要的课题，它在减少系统数据存储量、增加系统稳定性和提高计算效率等方 面有着重要应用。通过对2卅次平面参数贝塞尔曲线降一次逼近问题的分析研究，给出了用2坍一1次贝 塞尔曲线逼近2m次贝塞尔曲线的“封闭”的计算公式，推广了文献[1]中给出的降一次逼近时的误差估 计公式，并得到了“封闭”的形式。为cAD系统的用户和计算机图形学、计算机辅助几何设计、计算机辅 助制造和计算机辅助设计领域的研究人员使用计算逼近曲线控制顶点和逼近误差的封闭形式提供了方 便。而且对于事先给定的容许误差，利用文中的方法，借助于贝塞尔曲线离散分割算法可以很容易求出 满足要求的逼近曲线。 关键调：2m次贝塞尔曲线}降次；拐点；分割算法÷分段逼近 中国分类号：TP391．41 文献标识码：A 文章编号 引言 斑。在这些工作的基础上给出了封闭的B§zier曲线 的降次公式，使得可直接利用降次公式而不需迭代即 参数曲线在cAD，计算机图形学和计算机辅助 可对曲线进行降次；同时，利用给出的误差估计结果， 几何设计等领域具有极其重要的作用，而又以其中的 可以有效控制降次逼近的进程，使之既满足事先给定 的容许误差(以下简称“容差”)又能尽可能减少计算 一类参数曲线B§zier(贝塞尔)曲线更为突出，它具有 量。 里程碑的作用。B6zier曲线是航空航天器、轮船、汽车 和各种外包装等产品外型曲线曲面设计中最重要的 工具之一，同时，它也是作为产品外型数学描述唯一 1 偶次Bezier曲线降次基础 工业标准的非均匀有理B样条(NuRBs)曲线的基 础。为了实现不同cAD，cG或cAGD系统之间的数 对于n一2m(m一2，3，…)次Bezier曲线 据交换，需要保持Bezier曲线的次数一致，而不同系 统描述曲线的次数往往是不一致的，因此要使用 ；一；(f)一(矿(￡)，矿(f))1一 雎zier曲线的升次(亦称升阶)、降次(亦称降阶)技 ∑目(￡)；．一 术。虽然通过升次理论及其相应的算法可使不同次数 曲线的次数达到一致，但通过降次技术达到相同的目 n’ 的更有其优越之处：减少数据量且数值计算上更稳定 壹(c∥(1一咿叫)i— 高效。因此，Bezier曲线的降次逼近课题一直是 ((1一f)J+fE)一玩一 cAGD，cAD和cG领域的热点问题，并且有大量研 ((1 ￡)J+晒)n赢． 究工作出现，较有影响的工作由文献[1～5]可见一 lo一15 收稿日期：2003 工作以及应用逼近论方面的研究工作 万方数据 2