《概率论与数理统计》3-1课件.ppt

第三章 多维随机变量及其分布 第2节 二维离散型、连续型变量 在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变量 整体地讨论其结果. 如射击时考虑子弹在靶标上 的位置, 我们用定义在同一个样本空间Ω上的两 个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横坐 标与纵坐标, 则子弹在靶标上的位置可用二维随 机变量或二维随机向量（X，Y）表示. 定义1.1 设Ω是随机试验E的样本空间,在样本空间 Ω上定义两个随机变量X和Y, 即对任意的e∈ Ω, 都 赋予实数X(e), Y(e), 我们称向量（X，Y）为二维随 机变量或二维随机向量. 第1节 二维随机变量及其分布 类似地可定义三维随机变量以及任意有限维随 机变量. 我们把二维及二维以上的随机变量称为多 维随机变量. 本章主要讨论二维随机变量,其结果只 要形式上加以处理, 可以推广到三维或三维以上的 随机变量. 定义1.2 设(X,Y)为二维随机变量, x,y为任意的实数, 则称二元函数 为 (X,Y) 的分布函数或X和Y的联合分布函数. 联合分布函数的性质 性质1 对任意的x和y ,有0≦F(x,y) ≦1; 性质2 F(x,y)关于x和y都是单调不减的. 证明 对任意的 和y, 因为 所以 即 同理可证,对任意的x 和 有 性质3 对任意的x和y ,有 不一定,留给有兴趣的同学课后思考 但 性质4 F(x,y)关于x和y都是右连续的. 性质5 对于任意的, ,有 即二元函数F(x,y)是矩增的 一、二维离散型随机变量 定义2.1 如果二维随机变量(X,Y)的可能取值是有 限组或可列无限组 则称(X,Y) 为二维离散型随机变量,将(X,Y)取每组值的概率 称为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律. 二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表 解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则(X,Y)的联合分布律为 例1 袋中有2个黑球3个白球,从袋中随机取两次,每 次取一个球,取后不放回.令 求(X,Y)的联合分布律. 二维离散型随机变量联合分布律的性质 性质1 证 所以 性质2 证 证 性质3 联合分布律完全反映了(X,Y)的概率性质:设 G是一平面区域, 则 即随机点(X,Y)落在区域G上的概率是(X,Y)在G上取 值所对应的概率之和. 性质4 二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的来求和. 例2 令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地取一个 值, 令随机变量Y表示在1至 X中等可能地取一个值. 求(X,Y) 的联合分布律和F(2,2),F(3,3),F(4,4)之值. 解 故 (X,Y) 的联合分布律为 二、二维连续型随机变量 则称(X,Y)为二维连续型随机变量, f(x,y)称为(X,Y) 的概率密度或称为X和Y的联合概率密度或联合密 度函数. 定义2.2 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y).如果存在 非负可积函数f(x,y),对任意实数x,y, 有 (X,Y)的联合密度函数f(x,y)具有性质 性质1 非负性: f(x,y) ≧0 性质2 归范性: 性质3 f(x,y)完全反映了二维连续型随机变量(X,Y) 的概率性质: 设G为平面上的任意区域, 则 性质4 二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数与密度 函数的关系: 在f(x,y)的连续点处，有