《概率论与数理统计》1-4课件.ppt

第4节 事件的独立性与独立试验概型 设A,B是两个事件,如果 P(A)0,则可以 定义P(B|A).一般情况下,A的发生对B发生的 概率是有影响的,这时有 P(B|A)≠P(B) 例1 掷两次硬币,观察其出现正面(H)和反面(T)的 情况.设事件 A={第一次出现正面H}, B={第二次出现正面H}, 1. 两个事件的独立性 定义4.1 设A,B是两事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称A,B为相互独立的事件. 定理 零概率事件与任何事件都是互相独立的. 定理 概率为1的事件与任何事件都是互相独立的. 证明 定理 若P(A)0,P(B)0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立. 定理 设A,B是两事件,且P(A)0.则A,B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B) 例3 甲、乙两个战士打靶,甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.85,两人同时射击同一目标,各打一枪.求目标被击中的概率. 例4 设一个产品分二道工序独立生产,第一道工序的次品率为10%,第二道工序的次品率为3%.问该产品的次品率是多少? 2. 多个事件的独立性 定义 设A,B,C是三事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A) 则称三事件A,B,C两两独立. 定义 例5 设袋中有4个球,其中1个涂成白色,1个涂成红 色,1个涂成黄色,1个涂有白,红,黄三种颜色.今从 袋中任取一球,设 A={取出的球涂有白色}, B={取出的球涂有红色}, C={取出的球涂有黄色} 试验证事件A,B,C两两独立,但不相互独立. 3. 系统的可靠性 独立性的作用在系统的可靠性分析中体现得最为完 美.假设某系统由若干个元件联结而成, 而每个元件 可能正常工作, 也可能失效. 我们称元件能正常工作 的概率为该元件的可靠性, 而系统的可靠性是该系 统能正常工作的概率. 在下面我们假设各元件是否 能正常工作是相互独立的. 记 串联系统的可靠性 由n 个元件串联而成的系统,只要有一个元件失效,该系统就失效.因此串联系统的可靠性为: 并联系统的可靠性 由n 个元件并联而成的系统,只要有一个元件正常工作,则该系统就不会失效.因此并联系统的可靠性为: 示意图 示意图1 二、 独立试验概型 例10 设有8门大炮独立地同时向一目标各射击一次,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁,如果每门炮命中目标的概率为0.6,求目标被击毁的概率. 例11 某人有一串m把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.有一天该人醉后回家,下意识地每次从m把钥匙中随便拿一把去开门.问该人在第k次才把门打开的概率是多少? 一、 事件的独立性 若A的发生对B发生的概率没有影响,则有 P(B|A)=P(B) 因此 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 所以 P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2, P(B|A)=1/2,P(AB)=1/4 从而有P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B).事实上,显然第一次是否出现正面与第二次是否出现正面是互不影响的. 则试验的样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT} A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH} 解 设A表示第一次摸到黑,B表示第二次摸黑球,则 (1) 所以 （2） 注意到P(B|A)=P(B)即事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响，从直观上看，这是很自然的，因为我们采用的是有放回的摸球，第二次摸球时袋中球的构成与第一次摸球时完全相同，因此，第一次摸球的结果当然不会影响第二次摸球，在这种场合下我们说事件A与事件B相互独立. 定义 设A，B为任意两个随机事件，如果 P(B|A)=P(B) 即事件B发生的可能性不受事件A的影响，则称事件B对于事件A独立. 证明 设P(A)=0, B为任一事件, 因为 AB ? A 所以 0=P(AB)≤P(A) 故