《概率论与数理统计》1-3课件.ppt

2. 乘法公式 由条件概率定义可得下面定理 例7 袋中装有两个红球和三个白球,从中依次取出两个,求两个都是红球的概率. 例8 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 例9 一个盒子中有n(n1)只晶体管,其中有一只 次品,随机地取一只测试,直到找到次品为止.求在 第k(1≤k≤n)次测试出次品的概率. 例10 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个。其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取出的球是红球，则称试验成功。求试验成功的概率。 解 令A={从第一个盒子中取得标有字母A的球}， R={第二次取出的球是红球}， 计算过程如下图的概率树: 红P(R|A)=0.5 第二次 A P(A)=0.7 白P(W|A)=0.5 第一次 红P(R|B)=0.8 B P(B)=0.3 第二次 白P(W|B)=0.2 二、全概率公式和贝叶斯公式 定义 设Ω为试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为E的一 组事件.若 1)BiBj=?,i≠j,i,j=1,2,…,n; 2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω 则称B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分. 定理 设Ω为试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为样本 空间Ω的一个划分, A为E的一个事件, 且P(Bi)0 (i=1,2,…,n),则 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn) 上式称为全概率公式 . 例13 有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个 正品,一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次 品;在第三个箱中有两个正品,两个次品.现从任何 一个箱子中,任取一件产品,求取得的是正品的概率. 2. 贝叶斯公式 在全概率公式中我们知道,引起事件A发生的原 因有B1,B2,…,Bn等多种. 在实际问题中,常遇到已 知事件A已经发生,要求出事件A发生是由某种原因 Bk引起的概率P(Bk|A). 例14 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个。其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8，白球2个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取出的球是红球，则称试验成功。若试验成功，求第二次取出的红球是从第二个盒子取得的概率。 解 P(A|R)=P(AR)/P(R) =P(A)P(R|A)/P(R) =0.7×0.5/0.59 =35/59 证明 由条件概率的定义及全概率公式有 例15 无线电通讯中,发报台分别以概率0.6和0.4 发出信号“.”和“-”.由于干扰,发出信号“.”时,收 报台以概率0.98收到信号“.”,发出信号“-”时,收 报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报台收到信 号“-”的条件下,发报台发出信号“.”的概率. 上式称为贝叶斯(逆概率)公式. 定理 解 设B1={发出信号“.”},B2={发出信号“-”},A1={收到信号“.”},A2={收到信号“-”}.由于B1B2=?,B1∪B2= Ω,A2=A2B1 ∪ A2B2,于是 第3节 条件概率 例1 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况.设事件A={至少有一次为正面H},事件B={两次掷出同一面},求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率. 解 样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT},B={HH,TT}, A={HH,HT,TH}.