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《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介 《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介 同济大学数学系 姜礼尚 期权（option）是一类金融衍生工具，但从更广义上讲，期权是一种未定权益 （Contingent Claim），它是一种选择权；应用Black-Scholes-Morton 期权定价原理， 可以为多种不同形式的未定权益和选择权给出一个“公平”的估价。基于这个理念，我们 认为期权定价原理的应用绝不仅限于期权本身的定价，而应更广泛地应用于金融、保险、 财务、投资等各个不同领域。本书正是从这个思路出发，试图利用期权定价原理对当前市 场上流行的一些金融和保险的创新产品进行定价。在这里我们把这些创新产品看成是相关 标的资产(underlying assets)：外汇、黄金、股指、公司资产和利率等的衍生物，基于 无套利原理，得到一个风险中性的“公平”价格，它的定价强烈地依赖于相关标的资产的 数学模型，虽然它只是一种近似，但对金融机构的实际定价具有重要的参考价值。 本书可以看作是拙作“期权定价的数学模型和方法”(高等教育出版社，2003年)的应用 篇，着重研究在已有定价模型和方法的基础上，针对各种金融和保险创新产品的具体实施 条款，建立数学模型（即建立偏微分方程定解问题），求出它的闭合解或数值解，并进行 定量分析，讨论一些金融参数和创新产品定价之间的依从关系。为了帮助更多读者掌握用 偏微分方程方法研究Black-Scholes-Merton期权定价原理，我们专门写了“期权定价的偏 微分方程模型和方法”一章放在附录中，供大家学习和参考。 本书作为金融数学专业的教学用书和金融、保险、管理等领域的参考教材，它适用于两大 类读者：第一类读者是应用数学专业的教师和研究人员，特别是广大攻读金融数学各类学 位的研究生和本科生，第二类读者是金融、保险、管理等的从业人员，特别是正在从事金 融和保险创新产品设计的金融（保险）分析师，金融（保险）机构的决策人员以及相关的 研究工作者。我们深信本书将对他们的学习和研究有所裨益。 本书中绝大部分内容都是我们同济大学数学系风险管理研究所的老师们和研究生们在最近 三年内的研究成果，它从一个侧面反映了我们在应用数学理论解决实际问题的漫长道路上 所做出的努力和尝试以及我们正在追求的目标。 我们衷心希望本书能起到抛砖引玉的作用，能对Black-Scholes-Morton期权定价原理在这 一领域的应用起到一点推动作用。我们真诚地希望，能得到数学届的同仁特别是金融和保 险业界从业人员的批评和指正。 2007年1月22日 目录（部分） 序言 第一章 跳扩散模型下的期权定价 §13.1 跳扩散模型 §1.2 期权定价的PDE模型 §1.3 期权定价公式 第二章 个人理财产品案例之一－一类与得利宝有关的理财产品的定价研究 §2.1问题的提 出 得利宝之亚洲货币挂钩投资产品是中国交通银行上海分行于2005年11月28日推出一种 投资保本型金融产品。它的条款内容是：客户将美元存入银行，银行拿这笔美元去投资另 一货币或国债，另一货币是一篮子亚洲货币，篮子货币由日元(JPY)、韩元(KRW)、新加坡 元(SGD)、泰株(THB)各占25%构成。投资者通过汇率的变动获取收益，其投资收益由固定收 益和参与投资收益两部分构成，参与投资收益＝参与率×[(最终篮子货币值－最初篮子货 币值)或零中较大者]，其中，参与率(参与篮子货币投资的比率)为50%，最初篮子货币值指 的是交易本金，最终篮子货币值＝交易本金×(25%×JPY最初汇价/JPY最终汇价＋25% ×KRW最初汇价/KRW最终汇价+25%×SGD最初汇价/SGD最终汇价+25%×THB最初汇价/THB最 终汇价)。客户在到期日除了可获得保本的固定收益外，还可获得与亚洲一篮子货币相对美 元升幅相挂钩的额外收益。这些一篮子货币升幅越高，客户所获得的收益就越高，即使出 现最差情况，一篮子货币相对于美元全部走弱，投资者也可获得保本的收益。因此得利宝 具有收益高、风险小、本金安全等特点。 我们将得利宝条款中的投资收益稍作改变：假设到期日T，保本收益为K，参与投资收 益为0(T)XXλ+??，总收益为0()TKXXλ++?? ，其中TX为T时刻的投资帐户资产值，0X为初始 时刻投入的本金，我们认为这样的投资收益更合理，更符合投资者期望获得最大收益的心 理。根据这些条款我们将建立这种与得利宝有关的理财产品的定价模型，它的模型是一个 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程，并分析其解的性质，根据这个模型，一方面我们可以确 定参数的值（K和λ），另一方面可以验证它的合理性。另外我们还将给出数值算法。为了 简化问题，本文只讨论不可提前赎回的情况，对于可提前赎回的情况，模型相应为美式期 权