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高数复习题
选择题(每小题2分,共12分)
二元函数的定义域是( A ).
(A) (B)
(C) (D).
设由所围成,则 ( D ).
(A) (B)
(C) (D)
下列级数中,发散的是( C ).
(A) (B)
(C) (D)
设,则级数( ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛
(C) 发散 (D) 敛散性无法判断
微分方程的通解是( B ).
(A) (B)
(C) (D)
微分方程的一个特解可设为( ).
(A) (B)
(C) (D)
二元函数的定义域是( D ).
(A) (B)
(C) (D)
函数在原点处 ( C ).
(A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在
(C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在
交换二次积分的积分次序( B ).
(A) (B)
(C) (D)
级数的收敛区间是( ).
(A) (B)
(C) (D)
下列级数中,收敛级数是 ( B )
(A); (B)
(C) (D)
设a为常数,则级数(A ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛
(C) 发散 (D) 敛散性与的值有关.
形如的下列微分方程中,满足的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
微分方程的通解为( B ).
(A) (B)
(C) (D)
填空题(每小题2分,共16分)
设函数,则 .
曲面在处的切平面方程为.
设,将化为(先,后)的二次积分为
.
函数的驻点为.
幂级数的收敛半径为 .
函数的在处的幂级数展开式是.
微分方程的通解为
若:取逆时针方向为正向,则的值
为.
= .
设函数,则
已知D由()及轴围成,则2
求曲面在点处的法线方程为 .
设为的正向边界,则0
一阶微分方程的通解是
微分方程的通解为
若,则.
设是的下半圆周,则曲线积分的值为
计算题(每小题9分,共54分)
求二元函数的一阶偏导数和全微分.
设函数,求和.
计算,其中由曲线所围成.
交换累次积分的次序..
计算,其中为由点到点的
曲线,.
求幂级数的收敛区间.
若 确定.求 和 .
求曲面在点处的切平面方程和法线方程.
设函数,具有二阶连续偏导数,求,.
求函数在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点的方向的方向导数
计算,其中由抛物线及直线所围.
证明题(8分)
证明级数收敛。
若收敛,则绝对收敛.
应用题(10分)
已知某曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的纵坐标和横坐标之积,且曲线经过点
(1,1),求该曲线的方程。
若由曲面和平面所围,求 的体积.
从斜边为定长的直角三角形中,求有最大面积的直角三角形.
答案
计算题(每小题9分,共54分)
求二元函数的一阶偏导数和全微分.
解 一阶偏导数为
, (5分)
全微分为
, (9分)
设函数,求,.
, (4分)
(9分)
设 若 确定.求 和 .
解 因, (3分)
故, (7分)
求曲面在点处的切平面方程和法线方程.
解 作,则
,, (2分)
因此, (3分)
于是在点处的切平面方程为
或 (5分)
在点处的法线方程为
(7分)
设函数,具有二阶连续偏导数,求,.
解 (3分)
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