2014年数学建模D题.docVIP

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 ? 承? 诺? 书 ? 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）参赛队员(打印并签名) ：1指导教师或指导教师组负责人? (打印并签名)：机器人避障问题 摘要 二十一世纪科技发展迅速，机器人作业逐渐兴盛。本文研究了机器人避障最短路径和最短时间的问题。主要研究了在一个区域中存在12个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的两种情形。我们通过证明具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。依据这个结果，我们可以认为最短路径一定是由线和圆弧做组成，因此我们建立了线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。 一、问题重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：编号 障碍物名称 左下点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上点坐标(400, 330) 4 三角形 (280, 100) 上点坐标(345, 210)，右下点坐标(410, 100) 5 正方形 (80, 60) 边长150 6 三角形 (60, 300) 上点坐标(150, 435)，右下点坐标(235, 300) 7 长方形 (0, 470) 长220，宽60 8 平行四边形 (150, 600) 底边长90，左上点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60，宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12 长方形 (500, 140) 长300，宽60 在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为，是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。，速度与转弯半径的关系，根据此公式不难得出半径与速度的关系，即半径越大速度约接近5，但半径越大路程越长，消耗时间也越多。 三、模型假设与约定 1、假设机器人无体积。 2、假设切线转弯时速度变化为瞬间，即没有加速度。 3、做题所用的数据全部保留两位小数 4、用AutoCAD软件作图过程不予描述，例举两条路线进行分析。 四、符号说明及名词定义 V:机器人行走速度 V(ρ):机器人弧线行走速度 :机器人直线行走最大速度 ρ：机器人转弯半径 T：机器人行走时间 S：机器人行走路程 五、模型建立 模型建立 1、先来证明一个猜想： 猜想一：具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平