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3.6 克莱姆法则 * 知识回忆: 定理3.4 行列式等于它任一行（列）的元素与其代数余子式的乘积之和，即 推论3.4 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即 本节将利用行列式的知识，把 3.1节中解二、三元线性方程组的方法（“公式法”）加以推广. 线性方程组的一般形式为 3.6.1 克莱姆法则 定理3.5(克莱姆法则） 如果线性方程组 的系数行列式 其中 是把系数行列式 的第 列元素用方程 组（1）的常数项代替后得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有唯一解： （2） 该定理包括三个结论： 方程组（1）在系数行列式 时有解； 解是唯一的； 解由公式（2）给出. 定理证明的步骤是： 1、把（2）代入方程组，验证它确是方程组 （1） 的解； 2、假设方程组（1）有解，则它的解必可由 公式（2） 给出. 定理3.5的证明：把方程组简写成 首先证明（2）确是方程组（1）的解. 把 代入第i个方程, 得 [附注： 展开 因此 确是方程组（1）的解. 再证方程组（1）的解必由公式（2）给出.设 是方程组（1）的任一解， 则有 （3） 用D中第j列元素 的代数余子式 依次乘以（3）中每个等式，得 把这n个方程相加得： 而 展开 故 例 用克莱姆法则解方程组 解 因为 column列 row行 注意： 克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等，并且其系数行列式不等于零的线性方程组. 如果一个线性方程组中方程的个数与未知量的个数不相等，或者虽相等但系数行列式等于零，克莱姆法则失效（至少不能直接使用克莱姆法则）.
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