§92在直角坐标系下二重积分的计算.pptVIP

* §9.2 在直角坐标系下二重积分的计算 何意义来寻求二重积分的计算方法. 设曲顶柱体的曲顶是z=?(x,y)(≥0),底是区域D, z y O x D z=?(x,y) b a D是xy平面上由直线 与曲线 所围成. x=a, x=b(ab) 若直接用二重积分的定义去计算它的值，将是复 杂和困难，甚至是不可能的.下面利用二重积分的几 即D为 为了确定曲顶柱体的体积V, 在x轴上任取一点x,过该点 x y O a b x D 为了确定积分区域D的范围, 在x轴上任取一点x,过该 点作一条垂直于x轴的直线去穿区域, 之交点不多于两个,即一进一出. 与D的边界曲线 此区域为X―型区域. z y O x D z=?(x,y) x S(x) b a 体积为定积分 则由定积分知: 因对于区间[a,b]上每一个 固定的x, S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形 的曲边是由方程z=?(x,y)确定的关于y的一元函数, 而底边是沿着y轴方向从 的线段. 作一个垂直于x轴的平面 去截曲顶柱体; 其截面面积设为S(x), 平行切面截面面积已知的立体的 z y O z=?(x,y) S(x) 故由曲边梯形的面积公式得 或称先对y再对x的累次积分.常简写为 上式右端的积分称为二次积分 ?(x,y)中的x看成常数, 此时积分的结果为 量x的函数; 再将此函数对x在区间[a,b]上求定积分. 注2 去掉上面讨论中的限制?(x,y)≥0,等式照样成立. x O D y 注1 此式告诉我们:在计算二重积分时,首先把被积 将?(x,y)对y从 作定积分; 函数 =S(x)是变 在y轴上任取一点y,过该点作一条垂直于 y轴的直 交点不多于两个,即一进一出. 与D的边界曲线之 此区域为Y―型区域. 注3 线去穿区域, y 注4 同理：当被积函数是z=?(x,y),积分区域D(Y―型 即D为 此时, ?(x,y)的二重积分为先对x再对y的累次积分. y=c,y=d(cd)与曲线 x O D d c y 区域)是xy平面上由直线 常简写为 所围成, 注5 若D既不是X―型区域也不是Y―型区域,(如图), x y O 则可将D分成若干个部分,使每个部分不是X―型区域 就是Y―型区域, 再利用二重积分对积分区域的可加性 进行计算. 注6 综上所述二重积分的计算就是分别对变量x和y 因而应先画出积分区域D的图形,并写出D的边界方程, 作两次定积分的计算. 化二重积分为二次积分的关键是: “选择积分次序和确定积分上、下限” 如何根据区域D来确定两次定积分的上、下限呢? 再由D的形状找出区域D内点的坐标所满足的不等式. 同学们会感觉困难! 特殊地,若区域D是一矩形: a≤x≤b,c≤y≤d, x y O d c a b 即积分区域D是一矩形时,其积分次序可交换. 则二重积分 ——这是先对y再对x的 累次积分.同学们一 定要注意 要固定x为常数. 对y积分时 ——这是先对x再对y的 累次积分.同学们一 定要注意 要固定y为常数. 对x积分时 解 先作出区域D的图形： x y O ?1 1 1 y=x+1 y=1－x 如果按先对y再对x积分,则D应分为 此时对二重积分的计算需计算两个二次积分;如果按 x y O ?1 1 1 x=y?1 x=1?y 先对x再对y积分,则D可表为 此时对二重积分的计算只需计算一个二次积分. 解 (如图)若先对y后对x积分,则有 函数表示,积分难以进行;故不用此法. x y O y=x 1 1 x y O y=x 1 1 若(如图)先对x后对y积分,则 积分区域D为： 因 的原函数不能用初等 并请同学们注意：凡遇 等不能用初初等函数表示 的积分,均须更换积分次序.但在更换积分次序时,必须 先画出积分区域D的图形,再根据积分次序的要求,重新 写出D的边界方程. y x 1 1 o ?1 ?1 y x 1 1 o ?1 ?1 x y 3 1 o x=3?2y *