层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）.docVIP

层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国防部研究根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。 在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择这些因素是相互制约、相互影响的。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策提供定量的依据。 要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n个因素对上层某一目标的影响程度排序）用表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，则 A则称为成对比较矩阵 3、由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重 在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一层元素为u1,u2,…,un对于准则C相对重要性即权重。这通常可分两种情况： （1）如果u1,u2,…,un对C的重要性可定量（如可以使用货币、重量等），其权重可直接确定。 （2）如果问题复杂，u1,u2,…,un对于C的重要性无法直接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较方法。其方法是：对于准则C，元素ui和uj哪一个更重要，重要的程度如何，通常按1～9比例标度对重要性程度赋值，下表中列出了1～9标度的含义。 表1 标度的含义 标度 含义 1 表示两个元素相比，具有同样重要性 3 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 7 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 9 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值 倒数 若元素与的重要性之比为，那么元素与元素重 要性之比为 对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵 其中就是元素和相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列性质：，， 由判断矩阵所具有的性质知，一个n个元素的判断矩阵只需要给出其上（或下）三角的n(n-1)/2个元素就可以了，即只需做n(n-1)/2个比较判断即可。 若判断矩阵A的所有元素满足，则称A为一致性矩阵。 不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要这样要求，只是在特殊情况下才有可能满足一致性条件。 4、计算各层元素对系统目标的合成权重，进行一致性检验，并进行排序 已知n个元素u1,u2,…,un对于准则C的判断矩阵为A，求u1,u2,…,un对于准则C的相对权重写成向量形式即为　　　　　　　　　　　　 （1）权重计算方法。 ①和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术平均值，近似作为权重向量，即 　 计算步骤如下： 第一步：A的元素按行归一化； 第二步：将归一化后的各行相加； 第三步：将相加后的向量除以n，即得权重向量。 类似的还有列和归一化方法计算，即 　　　 ②根法（即几何平均法）。将A的各个行向量进行几何平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为 　　　　　　　　　　 计算步骤如下： 第一步：A的元素按列相乘得一新向量； 第二步：将新向量的每个分量开n次方； 第三步：将所得向量归一化后即为权重向量。 ③特征根法（简记EM）。解判断矩阵A的特征根问题 　　　　　　　　　　　　　　 式中，是A的最大特征根，W是相应的特征向量，所得到的W经归一化后就可作为权重向量。 ④对数最小二乘法。用拟合方法确定权重向量，使残差平方和为最小。 ⑤最小二乘法。确定权重向量，使残差平方和为最小。 （2）一致性检验. 在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造中，并不要求判断具有传递性和一致性，即不要求严格成立，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足大体上的一致性是应该的。如果出现“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的判断，则显然是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策上的失误。而且上述各种计算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断