第1章随机过程的基本概念.doc

第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 ，其中是正常数，而是标准正态变量。试求（t）的一维概率分布 解：∵ 当 即 即 时 若 即 时  当 时 此时 若 时  同理有 综上当： 即 时 2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为。试确定的一维分布函数和，以及二维分布函数 解：（1）先求 显然 随机变量的可能取值只有0，1两种可能，于是 所以  再求F（x,1） 显然 所以 计算 于是 3．设随机过程共有三条样本曲线 且试求随机过程数学期望EX(t)和相关函数Rx(t1,t2)。 解： 数学期望 相关函数 4．设随机过程 其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维分布密度。 解：对于任意 t0 因为 ∴ 当x0时 ∴ 当时 ∴ 随机过程的一维分布密度为 5．在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望和自相关函数 解：∵ 随机变量X的概率密度函数为 因此： 6．设随机过程在每一时刻t的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于任意固定的t有 其中0p1。试求X(t)的一维和二维分布，并求x(t)的数学期望和自相关函数 解：一维分布 二维分布： X(t)的数字期望 随机过程X (t)的自相关函数为 且；且；且 7．设是独立同分布的随机序列，其中的分布列为 Xj J=1，2，… P 定义。试对随机序列求 （1）Y1的概率分布列；（2）Y2的概率分布列；（3）Yn的数字期望； （4）Yn的相关函数RY（n, m）。 解：（1）∵ Y1=X1 故概率分布则为 （2）∵ 可能的取值为0或2，-2 = （3）的数字期望为 （4）自样关函数 当m≥n 时 ∵ （相互独立） ∵ ∴ ∴ 当m≥n 时 8．设随机过程的数字期望为协方差为，而是一个函数。试求随机过程的数字期望和协方差函数。 解：随机过程的数字期望为 的协方差函数为 而 ∴ 思考：有没有更为简单的方法呢？ 9．给定随机过程，对于任意一个数，定义另一个随机过程 试证：的数字期望和相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。 证明：设的一维和二维概率密度分加别为和 则 若考虑到对任意的是离散型随机变量，则有： 10．给定一个随机过程和常数a，试用的相关函数表示随机过程的相关函数。 解：根据定义 11．设随机过程 ，其中是正常数，A和Ф是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上的均匀分布，而服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求的数字期望和相关函数。 解： 12．设随机过程，其中在区间中均匀分布的随机变量。试求的数字期望和协方差函数。 解：∵ 是区间上均匀分布的随机变量，于是的概率密度为 因此的数字期望为： 当时 求其协方差函数： 当且时 当且时 当但即时 类上当时 当时 当时 13．设随机过程（随机变量），向，，试求的数字期望和协方差。 解： 14．设随机过程，向随机矢量的协方差阵为，试求的协方程函数。 解： 而 15．设随机过程其中X，Y，Z只是相互独立的随机变量，各自的数学