最新全国各地2011届高考数学试题汇编：空间向量

空间向量在立体几何中的应用 题组一 一、填空题 1．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶的 容积是，里面装有体积为的水，放在水平的 地面上（如图所示）. 现以顶点为支撑点，将铁 桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点处流出时， 棱与地面所成角的余弦值为 答案 2. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）平面内有两定点A，B，且|AB|=4，动点P满足，则点P的轨迹 是 . 答案：以AB为直径的圆； 二、简答题 3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。 （I）求证：C1D//平面ABB1A1； （II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D—A1C1—A的余弦值。 答案 （I）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1， 又面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1， …………2分 ABCD是正方形，所以CD//AB， 又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，…………3分 所以平面CDD1C1//平面ABB1A1， 所以C1D//平面ABB1A1 …………4分 （II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD 因为A1D⊥平面ABCD， 所以A1D⊥AD，A1D⊥CD， 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz， …………5分 在中，由已知可得 所以， …………6分 因为A1D⊥平面ABCD， 所以A1D⊥平面A1B1C1D1 A1D⊥B1D1。 又B1D1⊥A1C1， 所以B1D1⊥平面A1C1D， …………7分 所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0） …………8分 设与n所成的角为， 则 所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为 …………9分 （III）解：平面A1C1A的法向量为 则 所以 令可得 …………11分 则 所以二面角的余弦值为 …………12分 4．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）如图①，正三角形边长2，为边上的高，、分别为、中点，现将沿翻折成直二面角，如图② (1)判断翻折后直线与面的位置关系，并说明理由 (2)求二面角的余弦值 (3)求点到面的距离 图 ① 图 ② 答案 解：（1）平行（证明略） （2）取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为 （３），可得点到面的距离为 5．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷） （本题满分1分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，ACBC，D为AB的中点. （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）求证： 答案 5. 解：（1）在直三棱柱中 是所成的角（或其补角）………………………2分 在中， …………………………………………4分 （2）连结交于，连结。……………………………5分 则为的中点 又为的中点 ……………………………………………7分 ………………………………9分 （3）在直三棱柱中 …………………………10分 …………………………11分 …………………………12分 同理： …………………………13分 6．（本小题满分12分）,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2． （1）：AE//DCF； AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为． 【分析】（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。 【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：过点作交于，连结， 可得四边形为矩形，又为矩形，所以， 从而四边形为平